Question

20．已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+α），若f（n）=-1，求f（n+1）的值．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進行化簡即可．

解答 解：∵f（n）=-1，
∴f（n）=asin（nπ+α）+bcos（nπ+α），
若n=2k，則f（n）=f（2k）=asin（2kπ+α）+bcos（2kπ+α）=asinα+bcosα=-1，
此時f（n+1）=f（2k+1）=asin（2kπ+π+α）+bcos（2kπ+π+α）=asin（π+α）+bcos（π+α）=-（asinα+bcosα）=1，
若n=2k+1，則f（n）=f（2k+1）=asin（2kπ+π+α）+bcos（2kπ+π+α）=asin（π+α）+bcos（π+α）=-（asinα+bcosα）=-1，
即asinα+bcosα=1，
則f（n+1）=f（2k+2）=asin（2kπ+2π+α）+bcos（2kπ+2π+α）=asinα+bcosα=1，
綜上f（n+1）=1．

點評 本題主要考查三角函數(shù)值的計算，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．注意要對n進行分類討論．