Question

8．如圖，已知M、N、P分別是△ABC三邊BC、CA、AB上的點，且$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，如果$\overrightarrow{AB}$=a，$\overrightarrow{AC}$=b，選擇基底{a，b}
（1）求$\overrightarrow{MN}$在基地下的分解式（用a，b表示$\overrightarrow{MN}$）
（2）設(shè)△ABC的重心為G，△MNP的重心為G′，用a，b表示$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{A{G}^{′}}$，你發(fā)現(xiàn)了什么？

Answer 1

分析 （1）先用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{BC}$，則$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$；
（2）利用重心的性質(zhì)得出$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{N{G}^{′}}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NP}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$，$\overrightarrow{A{G}^{′}}$=$\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{N{G}^{′}}$并化成用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$來表示，根據(jù)化簡結(jié)果得出結(jié)論．

解答 解：（1）$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$=$\frac{3}{4}$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）-$\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$=-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=-$\frac{3}{4}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow$．
（2）設(shè)BC中點為D，則$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$，
同理，$\overrightarrow{N{G}^{′}}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NP}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AP}$）-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$-\frac{1}{4}$$\overrightarrow$+$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}\overrightarrow$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{12}$$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{A{G}^{′}}$=$\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{N{G}^{′}}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{12}$$\overrightarrow$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{3}\overrightarrow$．
∴$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{G}^{′}}$，即G和G′重合．

點評 本題考查了平面向量的加法的幾何意義，利用重心的性質(zhì)得出向量的關(guān)系是關(guān)鍵．