Question

8．將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏驈娜鐖D所示的A入口處，向下自由下落．小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是$\frac{1}{2}$，最后通過黑色區(qū)域．
（1）求小球從B出口通過的概率P（B）；
（2）在容器入口處依次放入4個(gè)小球，記ξ為從B出口通過的小球個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記“小球落入B出口”為事件B，事件B的對(duì)立事件為事件A，而事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出小球從B出口通過的概率P（B）．
（2）隨機(jī)變量ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）記“小球落入B出口”為事件B，事件B的對(duì)立事件為事件A，
而事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下，
故P（A）=$（\frac{1}{2}）^{3}+（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{4}$，
從而P（B）=1-P（A）=1-$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．
（2）隨機(jī)變量ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），
P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{1}{4}）^{4}$=$\frac{1}{256}$，
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{12}{256}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{3}{4}）^{2}（\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{54}{256}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{3}{4}）^{3}（\frac{1}{4}）$=$\frac{108}{256}$，
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{3}{4}）^{4}$=$\frac{81}{256}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{256}$	$\frac{12}{256}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{81}{256}$

Eξ=4×$\frac{3}{4}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．