Question

1．已知（x+y+2）ⁿ=a₀₀xⁿ+a₁₀x^n-1+…a_n0+a₁₁x^n-1y+a₂₁x^n-2y+…+a_n1y+a₂₂x^n-2y²+a₃₂x^n-3y²+…a_n2y²+…+a_{（n-1）（n-1）}xy^n-1+a_n（n-1）y^n-1+a_nnyⁿ，（n∈N^*）．
（1）當n=4時，求a₁₁和a₃₂；
（2）是否存在正整數(shù)r和n，使得a_r2，a_（r+1）2，a_（r+2）2的比值恰好是3：4：5，若存在，求出r和n，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當n=4時，根據(jù)多項式的展開式即可求a₁₁和a₃₂；
（2）假設結(jié)論成立，建立方程組關系，結(jié)合組合式公式進行化簡求解即可．

解答 解：（1）當n=4時，則a₁₁是x³y的系數(shù)，a₃₂是xy²的系數(shù)，
則a₁₁=${C}_{4}^{3}•{C}_{1}^{1}=4$，a₃₂=${C}_{4}^{1}{C}_{3}^{2}×2$=2×3×4=24．
（2）a_r2是x^n-ry²的系數(shù)，a_（r+1）2是x^n-（r+1）y²的系數(shù)，a_（r+2）2是x^n-（r+2）y²的系數(shù)，
則a_r2=${C}_{n}^{n-r}•{C}_{r}^{2}•{2}^{r-2}$，a_（r+1）2=${C}_{n}^{n-（r+1）}•{C}_{r+1}^{2}•{2}^{r-1}$，
a_（r+2）2=${C}_{n}^{n-（r+2）}•{C}_{r+2}^{2}•{2}^{r}$，
若存在正整數(shù)r和n，使得a_r2，a_（r+1）2，a_（r+2）2的比值恰好是3：4：5，
則$\frac{{C}_{n}^{n-r}•{C}_{r}^{2}•{2}^{r-2}}{{C}_{n}^{n-（r+1）}•{C}_{r+1}^{2}•{2}^{r-1}}$=$\frac{3}{4}$，①且$\frac{{C}_{n}^{n-（r+1）}•{C}_{r+1}^{2}•{2}^{r-1}}{{C}_{n}^{n-（r+2）}•{C}_{r+2}^{2}•{2}^{r}}$=$\frac{4}{5}$，②
由①得$\frac{{C}_{n}^{r}•{C}_{r}^{2}}{{C}_{n}^{r+1}•{C}_{r+1}^{2}}=\frac{3}{2}$，即$\frac{\frac{n!}{r!（n-r）!}•\frac{r（r-1）}{2}}{\frac{n!}{（r+1）!（n-r-1）!}•\frac{（r+1）r}{2}}$=$\frac{r+1}{n-r}•\frac{r-1}{r+1}$=$\frac{r-1}{n-r}$=$\frac{3}{2}$，
即2n-5r=-2，③
由②$\frac{{C}_{n}^{r+1}•{C}_{r+1}^{2}}{{C}_{n}^{r+2}•{C}_{r+2}^{2}}=\frac{8}{5}$，得$\frac{\frac{n!}{（r+1）!（n-r-1）!}•\frac{（r+1）r}{2}}{\frac{n!}{（r+2）!（n-r-2）!}•\frac{（r+2）（r+1）}{2}}$=$\frac{r+2}{n-r-1}•\frac{r}{r+2}$=$\frac{r}{n-r-1}=\frac{8}{5}$，
即8n-13r=8，④，
聯(lián)立③④得，r=$\frac{16}{7}$，n=$\frac{39}{7}$，
∵r，n都不是正整數(shù)，
∴a_r2，a_（r+1）2，a_（r+2）2的比值恰好是3：4：5，不成立，
即不存在正整數(shù)r和n，使得a_r2，a_（r+1）2，a_（r+2）2的比值恰好是3：4：5．

點評 本題主要考查排列組合二項式定理的應用，結(jié)合新定義，建立方程關系是解決本題的關鍵．綜合考查學生的運算能力，難度較大．