Question

10．若a₁，a₂，a₃，a₄∈R⁺，有以下不等式成立：$\frac{{{a_1}+{a_2}}}{2}≥\sqrt{{a_1}{a_2}}$，$\frac{{{a_1}+{a_2}+{a_3}}}{3}≥\root{3}{{{a_1}{a_2}{a_3}}}$，$\frac{{{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}}}{4}≥\root{4}{{{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}}}$．由此推測成立的不等式是$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}≥\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$（當(dāng)且僅當(dāng)a₁=a₂=…=a_n時取等號）．（要注明成立的條件）

Answer 1

分析 根據(jù)所給的幾個不等式歸納出左邊、右邊的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律可歸納出第n個不等式．

解答 解：由題意得，$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{2}≥\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}}$，$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}{3}≥\root{3}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$，
$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}}{4}≥\root{4}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}}$，…，
觀察可得：每個不等式的左邊是n個數(shù)的平均數(shù)，右邊n次根號下n個數(shù)之積，
∴可歸納出第n個不等式：$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}≥\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$，
故答案為：$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}≥\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$（當(dāng)且僅當(dāng)a₁=a₂=…=a_n時取等號）．

點(diǎn)評 本題考查歸納推理，難點(diǎn)是根據(jù)能夠找出式子之間的內(nèi)在規(guī)律，考查觀察、分析、歸納的能力，是基礎(chǔ)題．