Question

15．某公司領(lǐng)導(dǎo)層為了了解本公司的管理狀況，從公司員工中隨機抽取了25人，讓他們對公司的管理水平打分（滿分為100分）得到如下數(shù)據(jù)：69，82，81，76，84，79，77，77，65，84，69，83，71，76，89，74，73，83，78，82，72，74，86，79，76．
（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖；
（2）從這25人所打的分?jǐn)?shù)中任取3個，記分?jǐn)?shù)在[75，85）內(nèi)的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

分組	頻數(shù)	頻率
[65，70）
[70，75）
[75，80）
[80，85）
[85，90[

Answer 1

分析 （1）由已知能求出樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖．
（2）從這25人所打的分?jǐn)?shù)中任取3個，記分?jǐn)?shù)在[75，85）內(nèi)的個數(shù)為X，由已知得25個分?jǐn)?shù)中，分?jǐn)?shù)在[75，85）內(nèi)的有15個，X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由已知得樣本的頻率分布表為：

分組	頻數(shù)	頻率
[65，70）	3	0.12
[70，75）	5	0.2
[75，80）	8	0.32
[80，85）	7	0.28
[85，90]	2	0.08
合計	25	1

頻率分布直方圖為：

（2）從這25人所打的分?jǐn)?shù)中任取3個，記分?jǐn)?shù)在[75，85）內(nèi)的個數(shù)為X，
由已知得25個分?jǐn)?shù)中，分?jǐn)?shù)在[75，85）內(nèi)的有15個，∴X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{25}^{3}}$=$\frac{120}{2300}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{10}^{2}{C}_{15}^{1}}{{C}_{25}^{3}}$=$\frac{675}{2300}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{15}^{2}}{{C}_{25}^{3}}$=$\frac{1050}{2300}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{15}^{3}}{{C}_{25}^{3}}$=$\frac{455}{2300}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{120}{2300}$	$\frac{675}{2300}$	$\frac{1050}{2300}$	$\frac{455}{2300}$

∴X的數(shù)學(xué)期望為：$EX=0×\frac{120}{2300}+1×\frac{675}{2300}$+2×$\frac{1050}{2300}$+3×$\frac{455}{2300}$=$\frac{207}{115}$．

點評 本題考查頻率直方圖的作法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．