Question

7．對于△ABC，有如下四個(gè)命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形
②若sinB=cosA，則△ABC是直角三角形
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則△ABC是鈍角三角形
④若$\frac{a}{{cos\frac{A}{2}}}=\frac{{cos\frac{B}{2}}}=\frac{c}{{cos\frac{C}{2}}}$，則△ABC是等邊三角形
其中正確的命題的序號(hào)是④．

Answer 1

分析 ①若sin2A=sin2B，則2A=2B，或2A+2B=π，可得A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，即可判斷出三角形形狀；
②若sinB=cosA=$sin（\frac{π}{2}-A）$，則$B=\frac{π}{2}-A$或B+$\frac{π}{2}$-A=π，即A+B=$\frac{π}{2}$，或B-A$\frac{π}{2}$，即可判斷出三角形形狀；．
③利用正弦定理可得a²+b²＞c²，再利用余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，C是銳角．
④利用正弦定理可得$\frac{sinA}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{sinB}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sinC}{cos\frac{C}{2}}$，再利用倍角公式可得$sin\frac{A}{2}$=$sin\frac{B}{2}$=$sin\frac{C}{2}$，必有$\frac{A}{2}$=$\frac{B}{2}$=$\frac{C}{2}$，即可判斷出三角形形狀．

解答 解：①若sin2A=sin2B，則2A=2B，或2A+2B=π，∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，不正確．
②若sinB=cosA=$sin（\frac{π}{2}-A）$，則$B=\frac{π}{2}-A$或B+$\frac{π}{2}$-A=π，即A+B=$\frac{π}{2}$，或B-A$\frac{π}{2}$，則△ABC是直角三角形或鈍角三角形，因此不正確．
③若sin²A+sin²B＞sin²C，a²+b²＞c²，∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，∴C是銳角，則△ABC形狀不確定，不正確．
④若$\frac{a}{{cos\frac{A}{2}}}=\frac{{cos\frac{B}{2}}}=\frac{c}{{cos\frac{C}{2}}}$，則$\frac{sinA}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{sinB}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sinC}{cos\frac{C}{2}}$，∴2$sin\frac{A}{2}$=2$sin\frac{B}{2}$=2$sin\frac{C}{2}$，即$sin\frac{A}{2}$=$sin\frac{B}{2}$=$sin\frac{C}{2}$，必有$\frac{A}{2}$=$\frac{B}{2}$=$\frac{C}{2}$，即A=B=C，因此△ABC是等邊三角形
其中正確的命題的序號(hào)是④．
故答案為：④．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、誘導(dǎo)公式、三角形內(nèi)角和定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．