Question

17．一所學(xué)校計劃舉辦“國學(xué)”系列講座．由于條件限制，按男、女生比例采取分層抽樣的方法，從某班選出10人參加活動，在活動前，對所選的10名同學(xué)進(jìn)行了國學(xué)素養(yǎng)測試，這10名同學(xué)的性別和測試成績（百分制）的莖葉圖如圖所示．
（Ⅰ）根據(jù)這10名同學(xué)的測試成績，分別估計該班男、女生國學(xué)素養(yǎng)測試的平均成績；
（Ⅱ）這10名同學(xué)中男生和女生的國學(xué)素養(yǎng)測試成績的方差分別為$s_1^2$，$s_2^2$，試比較$s_1^2$與$s_2^2$的大�。ㄖ恍柚苯訉懗鼋Y(jié)果）；
（Ⅲ）若從這10名同學(xué)中隨機選取一男一女兩名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的國學(xué)素養(yǎng)測試成績均為優(yōu)良的概率．（注：成績大于等于75分為優(yōu)良）

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)這10名同學(xué)中男女生的平均成績分別為$\overline{x_1}，\overline{x_2}$．利用莖葉圖能求出該班男、女生國學(xué)素養(yǎng)測試的平均成績．
（Ⅱ）女生國學(xué)素養(yǎng)測試成績的方差大于男生國學(xué)素養(yǎng)成績的方差．
（Ⅲ）設(shè)“兩名同學(xué)的成績均為優(yōu)良”為事件A，男生按成績由低到高依次編號為a₁，a₂，a₃，a₄，女生按成績由低到高依次編號為b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆，由此利用列舉法能求出這兩名同學(xué)的國學(xué)素養(yǎng)測試成績均為優(yōu)良的概率．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)這10名同學(xué)中男女生的平均成績分別為$\overline{x_1}，\overline{x_2}$．
則$\overline{x_1}=\frac{64+76+77+78}{4}=73.75$…．（2分）
$\overline{x_2}=\frac{56+79+76+70++88+87}{6}=76$…．
∴該班男、女生國學(xué)素養(yǎng)測試的平均成績分別為73.75，76．（4分）
（Ⅱ）女生國學(xué)素養(yǎng)測試成績的方差大于男生國學(xué)素養(yǎng)成績的方差．…．（7分）
（Ⅲ）設(shè)“兩名同學(xué)的成績均為優(yōu)良”為事件A，…．（8分）
男生按成績由低到高依次編號為a₁，a₂，a₃，a₄，
女生按成績由低到高依次編號為b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆，
則從10名學(xué)生中隨機選取一男一女兩名同學(xué)共有24種取法    …．（10分）
（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₁，b₄），（a₁，b₅），（a₁，b₆），（a₂，b₁），
（a₂，b₂），（a₂，b₃），（a₂，b₄），（a₂，b₅），（a₂，b₆），（a₃，b₁），（a₃，b₂），
（a₃，b₃），（a₃，b₄），（a₃，b₅），（a₃，b₆），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（a₄，b₃），
（a₄，b₄），（a₄，b₅），（a₄，b₆），
其中兩名同學(xué)均為優(yōu)良的取法有12種取法…．（12分）
（a₂，b₃），（a₂，b₄），（a₂，b₅），（a₂，b₆），（a₃，b₃），（a₃，b₄），（a₃，b₅），
（a₃，b₆），（a₄，b₂），（a₄，b₃），（a₄，b₄），（a₄，b₅），（a₄，b₆），
所以$P（A）=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$，
即兩名同學(xué)成績均為優(yōu)良的概率為$\frac{1}{2}$．…．（13分）

點評 本題考查莖葉圖的應(yīng)用和概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用．