Question

18．設(shè)$a=\int_0^π{（sinx-1+2{{cos}^2}\frac{x}{2}}）dx$，則多項(xiàng)式${（a\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^6}•（{x^2}+2）$的常數(shù)項(xiàng)是（　�。�

• A． -332
• B． 332
• C． 166
• D． -166

Answer 1

分析 求定積分求得a的值，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得展開式的常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：∵$a=\int_0^π{（sinx-1+2{{cos}^2}\frac{x}{2}}）dx$=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（sinx+cosx）dx$=（sinx-cosx）${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=1-（-1）=2，
則多項(xiàng)式${（a\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^6}•（{x^2}+2）$=${（2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{6}$•（x²+2）=（64x³-192x²+240x-160+60•$\frac{1}{x}$-12•$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$）（x²+2），
故它的常數(shù)項(xiàng)為-12+（-160）×2=-332，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求定積分，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．