Question

13．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點F恰好與圓C：x²+y²-2x=0的圓心重合，過焦點F的直線l與拋物線E交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）若O是坐標原點，試問$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$是否為一定值？若是定值，請求出，否則請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點F恰好與圓C：x²+y²-2x=0的圓心重合，即可得出結論；
（Ⅱ）進行一定的分類討論，討論直線的斜率是否存在，將直線方程與拋物線方程進行聯(lián)立，即可得出定值．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C：x²+y²-2x=0的圓心為C（1，0），且拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點F恰好與圓C：x²+y²-2x=0的圓心重合，
∴拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點F為（1，0），
∴$\frac{p}{2}$=1，∴p=2，
∴拋物線E的方程為：y²=4x；
（Ⅱ）是定值-3．
由（Ⅰ）得，拋物線E的焦點F（1，0），設A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
①當過F的直線l的斜率不存在時，l垂直與x軸，則l的方程為x=1，
∴A（1，2），B（1，-2），∴$\stackrel{→}{OA}$•$\stackrel{→}{OB}$=1-4=-3，
②當過F的直線的斜率存在時，設斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），
由題意得，k≠0，∴x=$\frac{y}{k}$+1，代入y²=4x，得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4，
∴$\stackrel{→}{OA}$•$\stackrel{→}{OB}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁）•（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂）=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$+y₁y₂=1-4=-3，
綜上，$\stackrel{→}{OA}$•$\stackrel{→}{OB}$為定值-3．

點評 本題考查方程的求法，考查拋物線與直線相結合的綜合，屬于中檔題．