Question

13．若定義運算a⊕b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a＜b}\\{b，a≥b}\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）=log₂x⊕log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的值域是   （　�。�

• A． （-∞，-1]
• B． （-∞，0]
• C． [0，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先由定義確定函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性求函數(shù)的值域．

解答 解：令log₂x＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，
即log₂x＜-log₂x，
∴2log₂x＜0，
∴0＜x＜1；
令log₂x≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，
即log₂x≥-log₂x，
∴2log₂x≥0
∴x≥1，
又∵a⊕b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a＜b}\\{b，a≥b}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，0＜x＜1}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x≥1}\end{array}\right.$，
當0＜x＜1時，函數(shù)f（x）=log₂x單調(diào)遞增，∴此時f（x）∈（-∞，0）；
當x≥1時，函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x單調(diào)遞減，∴此時f（x）∈（-∞，0]．
∴函數(shù)f（x）的值域為（-∞，0]．
故選：B．

點評 本題考查解對數(shù)不等式以及對數(shù)函數(shù)的值域，求對數(shù)函數(shù)的值域要注意函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．