Question

9．已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=alnx+x²-4x．
（1）設g（x）=（a-2）x，若$?x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，使得f（x）≥g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）定義：若函數(shù)m（x）的圖象上存在兩點A、B，設線段AB的中點為P（x₀，y₀），若m（x）在點Q（x₀，m（x₀））處的切線l與直線AB平行或重合，則函數(shù)m（x）是“中值平衡函數(shù)”，切線l叫做函數(shù)m（x）的“中值平衡切線”．試判斷函數(shù)f（x）是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)f（x）的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得（x-lnx）a≤x²-2x，記F（x）=x-lnx，求出導數(shù)，求得最小值1，運用參數(shù)分離可得a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，求出導數(shù)，求得單調區(qū)間、極值和最值，即可得到a的范圍；
（2）求出f（x）的導數(shù)，假設f（x）是“中值平衡函數(shù)”，則存在A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（0＜x₁＜x₂），求出切線的斜率，運用兩點的斜率公式，可得$\frac{2a}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{a（ln{x_2}-ln{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，討論a是否為0，構造函數(shù)求出導數(shù)，判斷單調性，結合新定義，即可得到所求“中值平衡切線”的條數(shù)．

解答 解：（1）由f（x）≥g（x），得$（x-lnx）a≤x_{\;}^2-2x$，
記F（x）=x-lnx（x＞0），${F^'}（x）=\frac{x-1}{x}（x＞0）$，
當0＜x＜1時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，
當x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；
所以F（x）≥F（1）=1＞0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，記$G（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}，x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，
∴${G^'}（x）=\frac{（x-1）（x-2lnx+2）}{{{{（x-lnx）}^2}}}$，∵$x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，
∴x-2lnx+2=2（1-lnx）+x≥x＞0，
∴$x∈[{\frac{1}{e}，1}）$時，G′（x）＜0，G（x）遞減；
x∈（1，e]時，G′（x）＞0，G（x）遞增；
∴G（x）_min=G（1）=-1，∴a≤G（x）_min=-1，
故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]；
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
${f^'}（x）=\frac{a}{x}+2x-4=\frac{{2{x^2}-4x+a}}{x}$，
若函數(shù)f（x）是“中值平衡函數(shù)”，
則存在A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（0＜x₁＜x₂）
使得${f^'}（{x_0}）=\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
即$\frac{2a}{{{x_1}+{x_2}}}+{x_1}+{x_2}-4=\frac{{a（ln{x_2}-ln{x_1}）+x_2^2-x_1^2-4（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
∴$\frac{2a}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{a（ln{x_2}-ln{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$（※）
①當a=0時，（※）對任意的0＜x₁＜x₂都成立，
所以函數(shù)f（x）是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)f（x）的“中值平衡切線”有無數(shù)條；
②當a≠0時，有$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
設t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，則方程lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$在區(qū)間（1，+∞）上有解，
記函數(shù)$h（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}，t＞1$，
則${h^'}（t）=\frac{1}{t}-\frac{4}{{{{（t+1）}^2}}}=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{{t{{（t+1）}^2}}}＞0$，
所以函數(shù)h（t）在區(qū)間（1，+∞）遞增，
∵h（1）=0，所以當t＞1時，h（t）＞h（1）=0，
即方程$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$在區(qū)間（1，+∞）上無解，即函數(shù)f（x）不是“中值平衡函數(shù)”；
綜上所述，當a=0時，函數(shù)f（x）是“中值平衡函數(shù)”，
且函數(shù)f（x）的“中值平衡切線”有無數(shù)條；
當a≠0時，f（x）不是“中值平衡函數(shù)”．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分離參數(shù)，考查新定義的理解和運用，注意運用分類討論的思想方法，考查構造函數(shù)的方法，屬于中檔題．