Question

10．若方程sin2x+$\sqrt{2}$（2-a）sin（x+$\frac{π}{4}$）+7-a=0，在x∈[0，$\frac{π}{2}$]內有兩個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍為{2$\sqrt{5}$}∪（6$\sqrt{2}$-4，$\frac{9}{2}$]．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的倍角公式將方程進行化簡，利用換元法結合三角函數(shù)的彈性后效進行求解即可．

解答 解：由sin2x+$\sqrt{2}$（2-a）sin（x+$\frac{π}{4}$）+7-a=0
得2sinxcosx+$\sqrt{2}$（2-a）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx）+7-a=0
即2sinxcosx+（2-a）×（sinx+cosx）+7-a=0
設t=sinx+cosx，則t²=1+2sinxcosx，
即2sinxcosx=t²-1，
則t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
則sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[sin$\frac{π}{4}$，sin$\frac{π}{2}$]，
即sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
則$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，
則1≤t≤$\sqrt{2}$，且對任意的1≤t＜$\sqrt{2}$時，方程t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）都有兩個不同的解，
當t=$\sqrt{2}$時，方程t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）只有一個解，
若方程sin2x+$\sqrt{2}$（2-a）sin（x+$\frac{π}{4}$）+7-a=0，在x∈[0，$\frac{π}{2}$]內有兩個不同的解，
則等價為方程t²-1+（2-a）t+7-a=0即t²+（2-a）t+6-a=0，
在1≤t＜$\sqrt{2}$時有且只有一個解，
當判別式△=（2-a）²-4（6-a）=0時，a=±2$\sqrt{5}$，
若a=-2$\sqrt{5}$，則方程t²+（2-a）t+6-a=0的解為t=1+$\sqrt{5}$∉[1，$\sqrt{2}$），不滿足條件．
若a=2$\sqrt{5}$，則方程t²+（2-a）t+6-a=0的解為t=$\sqrt{5}$-1∈[1，$\sqrt{2}$），滿足條件．
當方程t²+（2-a）t+6-a=0有兩個不等實根時，由題意得有且僅有一個根位于[1，$\sqrt{2}$）內，
∴[1²+（2-a）+6-a][（$\sqrt{2}$）²+（2-a）$•\sqrt{2}$+6-a]≤0，且[（$\sqrt{2}$）²+（2-a）$•\sqrt{2}$+6-a]≠0，
即6$\sqrt{2}$-4＜a≤$\frac{9}{2}$，
綜上則實數(shù)a的取值范圍為{2$\sqrt{5}$}∪（6$\sqrt{2}$-4，$\frac{9}{2}$]，
故答案為：{2$\sqrt{5}$}∪（6$\sqrt{2}$-4，$\frac{9}{2}$]

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應用，利用三角函數(shù)的倍角公式將函數(shù)進行化簡，利用換元法轉化為一元二次函數(shù)，是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．