Question

15．已知min{p，q}表示p，q中較小者，若函數(shù)f（x）=min{x-$\frac{1}{e}$，|ln（x-1）|}，且存在x₀∈（1，2e+1]，使得f（x₀）-a-1≥0成立，則a的取值范圍是（-∞，ln2]．

Answer 1

分析 根據(jù)定義作出何時能f（x）的圖象，將條件存在x₀∈（1，2e+1]，使得f（x₀）-a-1≥0成立轉化為f（x）_max≥a+1成立，求函數(shù)在（1，2e+1]上的最大值即可．

解答 解：若存在x₀∈（1，2e+1]，使得f（x₀）-a-1≥0成立，
則等價為f（x₀）≥a+1成立，
即f（x）_max≥a+1成立，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，對應的圖象為曲線ABCD，
其中B（1+$\frac{1}{e}$，1），
當x=2e+1時，f（2e+1）=|ln（2e+1-1）|=|ln2e|=ln2e=1+ln2＞1，
故f（x）_max=1+ln2，
即1+ln2≥a+1，
解得a≤ln2，
故答案為：（-∞，ln2]

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用數(shù)形結合以及將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．