Question

14．焦點在x軸上的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），短軸的一個端點和兩個焦點相連構成一個三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為$\frac{3}$，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的性質AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根據(jù)三角形面積相等求得a和c的關系，由e=$\frac{c}{a}$，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由橢圓的性質可知：
AB=2c，AC=AB=a，OC=b，
S_ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$•2c•b=bc，
S_ABC=$\frac{1}{2}$（a+a+2c）•r=$\frac{1}{2}$•（2a+2c）×$\frac{3}$=$\frac{b（a+c）}{3}$，
∴$\frac{b（a+c）}{3}$=bc，a=2c，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故答案選：C．

點評 本題主要考察橢圓的基本性質，考察三角形的面積公式，離心率公式，屬于基礎題．