Question

9．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），S_n為其前n項和，則S₅的值為（　�。�

• A． 57
• B． 61
• C． 62
• D． 63

Answer 1

分析 由a_n=2a_n-1+1，得a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），可判斷{a_n+1}是以2為公比，2為首項的等比數(shù)列，由此可求得a_n，然后利用分組求和法可得S_n，當(dāng)n=5時，代入即可求得S₅=64-5-2=57，即可得到答案．

解答 解：由a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，
∴所以{a_n+1}是以2為公比，2為首項的等比數(shù)列，
所以a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，
∴S_n=（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n，
S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
=2ⁿ⁺¹-n-2．
∴當(dāng)n=5時，S₅=64-5-2=57，
故答案選：A．

點評 本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、求等比數(shù)列前n項和等知識，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．