Question

15．（1）若函數(shù)f（x）=$\sqrt{（{a}^{2}-1）{x}^{2}+（a-1）x+\frac{2}{a+1}}$的定義域為R，求實數(shù)a的范圍；
（2）判斷k為何值時，函數(shù)f（x）=$\frac{2kx-8}{k{x}^{2}+2kx+1}$的定義域為R．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域為R，得出（a²-1）x²+（a-1）x+$\frac{2}{a+1}$≥0恒成立，討論a的取值，求出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域為R，得出kx²+2kx+1≠0恒成立，求出k的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{（{a}^{2}-1）{x}^{2}+（a-1）x+\frac{2}{a+1}}$的定義域為R，
∴（a²-1）x²+（a-1）x+$\frac{2}{a+1}$≥0恒成立；
當a²-1=0時，解得a=±1，
若a=1，則1≥0恒成立，
若a=-1，則$\frac{2}{a+1}$分母為0，無意義；
當a²-1≠0時，應滿足$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{{（a-1）}^{2}-4{（a}^{2}-1）•\frac{2}{a+1}≤0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1或a＞1}\\{1≤a≤9}\end{array}\right.$；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[1，9]；
（2）∵函數(shù)f（x）=$\frac{2kx-8}{k{x}^{2}+2kx+1}$的定義域為R，
∴kx²+2kx+1≠0恒成立，
當k=0時，f（x）=-8是常函數(shù)，定義域為R；
當k≠0時，須△＜0，即4k²-4k＜0，
解得0＜k＜1；
綜上，當k∈[0，1）時，函數(shù)f（x）的定義域為R．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，也考查了轉化思想與不等式的解法問題，是綜合性題目．