Question

5．已知直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈α，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，求D到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 由題意通過等體積法，求出三棱錐的體積，然后求出D到平面ABC的距離

解答 解：由題意畫出圖形如圖：
∵直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，
∴AC⊥β，BC?β，
∴AC⊥BC，
∵AB=2，AC=BD=1，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$
設(shè)D到平面ABC的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐D-ABC的高為h，
由V_B-ACD=V_D-ABC可知$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$•AC•CD•BD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×AC•BC•h，
所以，h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查點到平面的距離，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，等體積法是求解點到平面距離的基本方法之一，考查計算能力．