Question

10．如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹，已知角A為120°，AB，AC的長度均大于200米，現在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆．
（1）若圍墻AP，AQ總長度為200米，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？
（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價均為每平方米100元．若圍圍墻用了20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最省？

Answer 1

分析 （1）設AP=x米，AQ=y米，則x+y=200，△APQ的面積S=$\frac{1}{2}$xysin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$xy，利用基本不等式，可得結論；
（2）由題意得100×（x+1.5y）=20000，即x+1.5y=200，要使竹籬笆用料最省，只需PQ最短，利用余弦定理求出PQ，即可得出結論．

解答 解：設AP=x米，AQ=y米，則
（1）x+y=200，△APQ的面積S=$\frac{1}{2}$xysin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$xy$≤\frac{\sqrt{3}}{4}•（\frac{x+y}{2}）^{2}$=2500$\sqrt{3}$，
當且僅當x=y=100時取等號；
（2）由題意得100×（x+1.5y）=20000，即x+1.5y=200，
要使竹籬笆用料最省，只需PQ最短，所以
PQ²=x²+y²-2xycos120°=x²+y²+xy=（200-1.5y）²+y²+（200-1.5y）y
=1.75y²-400y+40000（0＜y＜$\frac{400}{3}$）
所以y=$\frac{800}{7}$時，PQ有最小值$\frac{200\sqrt{21}}{7}$，此時x=$\frac{200}{7}$．

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查三角形面積的計算，余弦定理的運用，屬于中檔題．