Question

15．試求與圓C₁：（x-1）²+y²=1相外切，且與直線x+$\sqrt{3}$y=0相切于點(diǎn)Q（3，-$\sqrt{3}$）的圓的方程．

Answer 1

分析 設(shè)圓心為（x，$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$），半徑為R，利用兩圓外切及直線與圓相切建立方程組，求出參數(shù)，得到所求的圓的方程．

解答 解：依題意，且由切線性質(zhì)得：圓心所在的直線與直線x+$\sqrt{3}$y=0垂直．
設(shè)圓心所在的直線方程是y+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（x-3），即y=$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$
設(shè)圓心為（x，$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$），半徑為R，則
①（x-3）²+（$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$）²=R²，
②（x-1）²+（$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$）²=（R+1）²，
①-②得到x=6-R，
再把x=6-R代入①得到R²-8R+12=0，
解得R₁=6，R₂=2，
所以解得x₁=0，x₂=4，
所以當(dāng)R=6時(shí)圓心坐標(biāo)為（0，-4$\sqrt{3}$），當(dāng)R=2時(shí)，圓心坐標(biāo)為（4，0），
所以圓的方程為x²+（y+4$\sqrt{3}$）²=36或（x-4）²+y²=4．

點(diǎn)評(píng) 一般情況下，如果已知圓心（或易于求出）或圓心到某一直線的距離（或易于求出），可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來求解，用待定系數(shù)法求出圓心坐標(biāo)和半徑．