Question

17．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸上端點為E，M（0，1）為線段OE的中點．
（1）求橢圓Γ的方程；（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若k_AC•k_BD=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
（i）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最值；
（ii）求證：四邊形ABCD的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意，b=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由a²=b²+c²，聯(lián)立即可得到a²、b²、c²，即可求橢圓Γ的方程；
（2）（i）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設k_AC=k，由k_AC•k_BD=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，可得k_BD=-$\frac{1}{2k}$．把直線AC、BD的方程分別與橢圓的方程聯(lián)立解得點A，B，的坐標，再利用數(shù)量積即可得到關(guān)于k的表達式，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最值；
（ii）由橢圓的對稱性可知S_{四邊形ABCD}=4×S_△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到S_{四邊形ABCD}²=4[|OA|²|OB|²-（$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$）²]，代入計算即可證明．

解答 （1）解：由題意，b=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=2，a=2$\sqrt{2}$，
∴橢圓Γ的方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）（i）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設x₁＞0，x₂＞0．
設k_AC=k，∵k_AC•k_BD=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$_=-$\frac{1}{2}$，∴k_BD=-$\frac{1}{2k}$．
可得直線AC、BD的方程分別為y=kx，y=--$\frac{1}{2k}$x．
聯(lián)立橢圓．解得x₁=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，x₂=$\frac{4|k|}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1}{2}$x₁x₂=$\frac{4\sqrt{2}|k|}{1+2{k}^{2}}$≤2，當且僅當|k|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號．
可知：當x₁＞0，x₂＞0時，有最大值2．
當x₁＜0，x₂＜0．有最小值-2．
（ii）由橢圓的對稱性可知S_{四邊形ABCD}=4×S_△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．
∴S_{四邊形ABCD}²=4[|OA|²|OB|²-（$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$）²]=4（x₁y₂-x₂y₁）²=4$（k+\frac{1}{2k}）^{2}（\frac{8\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}）^{2}$=128，
∴四邊形ABCD的面積=8$\sqrt{2}$為定值，

點評 熟練掌握橢圓的定義、標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程得到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計算公式等是解題的關(guān)鍵．