Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，a₁=λ，且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n+1=a_n+2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n+1=S_n．若b_n=a_2n-1+1，判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，若是，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列{a_2n+1+1}，結(jié)合等比數(shù)列的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵a₁=λ，∴a₂=a₁+2=λ+2，
則a_2n=a_2n-1+1=a_2n-1+2，
a_2n+2=a_2n+1+2，
a_2n+1=S_2n，
a₃=S₂=a₁+a₂=2λ+2，
a_2n+3=S_2n+2，
∴a_2n+3-a_2n+1=S_2n+2-S_2n=a_2n+2+a_2n+1，
即a_2n+3=a_2n+2+2a_2n+1=a_2n+1+2+2a_2n+1=3a_2n+1+2，
即a_2n+3+1=3（a_2n+1+1），
即{a_2n+1+1}是首項(xiàng)為a₃+1=2λ+3，公比為3的等比數(shù)列．
即b_n+1=（2λ+3）3^n-1，
b₂=a₃+1=2λ+3，
b₁=a₁+1=1+λ，
只有當(dāng)a₃+1=3（a₁+1），
即2λ+3=3（λ+1）時(shí)，
即λ=0時(shí)，數(shù)列{b_n}是才是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，構(gòu)造等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)運(yùn)算量較大．