Question

11．若關(guān)于x的不等式不等式|x²-5|＜4成立時(shí)，-x²+4x+a²-4＞0成立，則a的取值范圍是（-∞，-5）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 先求出|x²-5|＜4時(shí)x的取值范圍，把a(bǔ)²-4+4x-x²＞0變形為a²＞x²-4x+4=（x-2）²；求出f（x）=（x-2）²的最大值f（x）_max，從而求出a的取值范圍．

解答 解：∵|x²-5|＜4，
∴-4＜x²-5＜4，
即1＜x²＜9，
解得-3＜x＜-1，或1＜x＜3；
又∵-x²+4x+a²-4＞0，即a²-4+4x-x²＞0，
∴a²＞x²-4x+4=（x-2）²；
設(shè)f（x）=（x-2）²，定義域?yàn)閤∈（-3，-1）∪（1，3），
當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）是減函數(shù)，x≥2時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（-3），
即a²＞f（-3）；
解得a＞5，或a＜-5，
故答案為：（-∞，-5）∪（5，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化不等式a²-4+4x-x²＞0，是中檔題目．