Question

10．已知函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log_ax（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，如果函數(shù)g（x）=f（x）[f（x）-3a²-1]（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，那么a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{2}{3}$]
• B． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• C． [1，$\sqrt{3}$]
• D． [$\frac{3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由已知函數(shù)g（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，令a^x=t，利用換元法及二次函數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log_ax（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴f（x）=a^x（a＞0，a≠1），
∵函數(shù)g（x）=f（x）[f（x）-3a²-1]（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)
令a^x=t，則g（x）=a^x（a^x-3a²-1）轉(zhuǎn)化為y=t²-（3a²+1）t，其對稱軸為t=$\frac{3{a}^{2}+1}{2}$＞0，
當(dāng)a＞1時，t≥1，要使函數(shù)y=t²-（3a²+1）t在[1，+∞）上是增函數(shù)
則t=$\frac{3{a}^{2}+1}{2}$≤1，故不存在a使之成立；
當(dāng)0＜a＜1時，0＜t≤1，要使函數(shù)y=t²-（3a²+1）t在（0，1]上是減函數(shù)
則t=$\frac{3{a}^{2}+1}{2}$≥1，故$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤a＜1．
綜上所述，a的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）．
故選：B．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意換元法及二次函數(shù)性質(zhì)的合理運用．