Question

1．已知數列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n，對于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1總成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）求數列{S_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）對于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1總成等差數列．可得2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1=$\frac{3}{2}$S_n+$\frac{3}{2}$a_n-2，化為a_n=3S_n-4，利用遞推關系及其等比數列的通項公式即可得出．
（II）利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）對于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1總成等差數列．
∴2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1=$\frac{3}{2}$S_n+$\frac{3}{2}$a_n-2，化為a_n=3S_n-4，
∴a₁=3a₁-4，解得a₁=2．
當n≥2時，a_n-1=3S_n-1-4，可得：a_n-a_n-1=3a_n，
化為${a}_{n}=-\frac{1}{2}$a_n-1，
∴數列{a_n}是等比數列，首項為2，公比為-$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$2×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（II）T_n=$\frac{2[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{4}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．

點評 本題考查了遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．