Question

1．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1總成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）對(duì)于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1總成等差數(shù)列．可得2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1=$\frac{3}{2}$S_n+$\frac{3}{2}$a_n-2，化為a_n=3S_n-4，利用遞推關(guān)系及其等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）對(duì)于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1總成等差數(shù)列．
∴2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1=$\frac{3}{2}$S_n+$\frac{3}{2}$a_n-2，化為a_n=3S_n-4，
∴a₁=3a₁-4，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1=3S_n-1-4，可得：a_n-a_n-1=3a_n，
化為${a}_{n}=-\frac{1}{2}$a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為-$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$2×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（II）T_n=$\frac{2[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{4}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．