Question

13．已知點G是△ABC的重心，在線段AC上取一點E，在線段AB上取一點F，若EF過G．求證：$\frac{|BF|}{|FA|}$+$\frac{|CE|}{|EA|}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形，設$\frac{\overrightarrow{BF}}{\overrightarrow{FA}}$=λ，$\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{EA}}$=μ，求出$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{1+μ}$$\overrightarrow{AC}$；根據(jù)G是△ABC的重心，得出$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$；
根據(jù)E、F、G三點共線，得出$\overrightarrow{AG}$=k$\overrightarrow{AE}$+（1-k）$\overrightarrow{AF}$，由此求出λ+μ的值．

解答 證明：如圖所示，
設$\frac{\overrightarrow{BF}}{\overrightarrow{FA}}$=λ，$\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{EA}}$=μ，
∴$\frac{\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FA}}$=λ+1，即$\frac{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{FA}}$=λ+1，
∴$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{λ+1}$$\overrightarrow{BA}$，即$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$，
同理$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{1+μ}$$\overrightarrow{AC}$；
又G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$；
又E、F、G三點共線，
設$\overrightarrow{AG}$=k$\overrightarrow{AE}$+（1-k）$\overrightarrow{AF}$，
則$\overrightarrow{AG}$=$\frac{k}{1+μ}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1-k}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{1+μ}=\frac{1}{3}}\\{\frac{1-k}{1+λ}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=2-3k}\\{μ=3k-1}\end{array}\right.$，
∴λ+μ=1，即$\frac{|BF|}{|FA|}$+$\frac{|CE|}{|EA|}$=1．

點評 本題考查了平面向量的線性表示與運算問題，也考查了定比分點與三點共線的應用問題，是中檔題目．