Question

11．如圖所示，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P是以點C為圓心、3為半徑的圓上的任意一點，則$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AP}$的取值范圍是[-20，4]．

Answer 1

分析 首先建立平面直角坐標(biāo)系：以C為原點，平行于AB的直線為x軸，這樣便可建立坐標(biāo)系，然后便可根據(jù)條件確定出A，B點的坐標(biāo)，并根據(jù)題意設(shè)P（3cosθ，3sinθ），從而可求出$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{AP}$的坐標(biāo)，進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算便得出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AP}=-12cosθ-8$，這樣根據(jù)-1≤cosθ≤1便可求出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AP}$的取值范圍．

解答 解：如圖，以C為坐標(biāo)原點，以平行于AB的直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：
$A（-2，-2\sqrt{3}），B（2，-2\sqrt{3}）$；
點P是以點C為圓心、3為半徑的圓上的任意一點；
∴設(shè)P（3cosθ，3sinθ）；
∴$\overrightarrow{BA}=（-4，0），\overrightarrow{AP}=（3cosθ+2，3sinθ+2\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AP}=-12cosθ-8$；
∵-1≤cosθ≤1；
∴-20≤-12cosθ-8≤4；
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AP}$的取值范圍為[-20，4]．
故答案為：[-20，4]．

點評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)可以求向量的坐標(biāo)，用三角函數(shù)表示圓上的點的坐標(biāo)的方法，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，余弦函數(shù)的值域．