Question

6．給出最小二乘法下的回歸直線方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$系數(shù)公式：
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$
假設關于某設備的使用年限x（年）和所支出的維修費用y（萬元），有如表的統(tǒng)計資料：

使用年限x （年）	2	3	4	5	6
維修費用y（萬元）	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由資料可知y對x呈線性相關關系，試求：
（1）線性回歸直線方程；
（2）根據(jù)回歸直線方程，估計使用年限為12年時，維修費用是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)據(jù)，求得使用年限x及維修費用y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法認真做出線性回歸方程的系數(shù)，即可求得線性回歸方程．
（2）當x=12時，帶入回歸直線方程，求得$\widehat{y}$，即可求得使用年限為12年時，維修費用．

解答 解：（1）列表

i	1	2	3	4	5	總計
xi	2	3	4	5	6	20
yi	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0	25
xiyi	4.4	11.4	22.0	32.5	42.0	112.3
${x}_{i}^{2}$	4	9	16	25	36	90
$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5； $\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$=90；$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=112.3

$\widehat$═$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，…（5分）
于$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=5-1.23×4=0.08．…（6分）
所以線性回歸直線方程為$\widehat{y}$=1.23x+0.08．…（8分）
（2）當x=12時，$\widehat{y}$=1.23×12+0.08=14.84（萬元），即估計使用12年時，維修費用是14.84萬元．…（12分

點評 本題考查線性回歸分析的應用，利用最小二乘法認真做出線性回歸方程的系數(shù)，利用回歸直線方程進行預測，考察計算能力，屬于基礎題．