Question

20．如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC均是邊長為$\sqrt{2}$的等邊三角形，AB=2，O，M，T分別是AB，PA，AC的中點．
（1）若N是△PAC內(nèi)部或邊界上的動點，且滿足ON∥平面PBC，證明：點N在線段 M T上；
（2）求二面角P-BC-A的余弦值．
（參考定理：若平面α∥平面β，a∈平面α，A∈直線l，且l∥平面β，則直線l?平面α．）

Answer 1

分析 （1）連接OM，OT，O，M，T分別是AB，PA，AC的中點．利用三角形的中位線定理可得：OM∥PB，OT∥BC，利用線面平行的判定定理可得OM∥平面PBC，OT∥平面PBC，可得平面OMT∥平面PBC．由于N是△PAC內(nèi)部或邊界上的動點，且滿足ON∥平面PBC，即可證明點N在線段MT上．
（2）：連接OP，OC．由PA=PB=$\sqrt{2}$，O為AB的中點，則OP⊥AB，同理可證：OC⊥AB，利用OP²+OC²=1+1=2=PC²，可得OP⊥OC，如圖所示，建立空間直角坐標系．P（0，0，1），O（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，取平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）證明：連接OM，OT，∵O，M，T分別是AB，PA，AC的中點．
∴OM∥PB，OT∥BC，
又OM?平面PBC，PB?平面PBC，
∴OM∥平面PBC，
同理可得OT∥平面PBC，
又OM∩OT=O，
∴平面OMT∥平面PBC．
∵N是△PAC內(nèi)部或邊界上的動點，且滿足ON∥平面PBC，
∴點N在線段MT上．
（2）解：連接OP，OC．∵PA=PB=$\sqrt{2}$，O為AB的中點，則OP⊥AB，
同理可證：OC⊥AB，
∵OB=1，
∴OP=OC=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=1，
∴OP²+OC²=1+1=2=PC²，
∴OP⊥OC，
如圖所示，建立空間直角坐標系．P（0，0，1），O（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），
$\overrightarrow{BC}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，1），
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-x-y=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，
令y=-1，解得x=1，z=-1，∴$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1），
取平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
則$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{3}×1}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由圖可知：二面角P-BC-A為銳角．
∴二面角P-BC-A的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面面面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理、勾股定理的逆定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了通過建立空間直角坐標系利用平面的法向量的夾角得出二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．