Question

9．已知拋物線C：y²=4x和直線l：y=x+4．
（1）求拋物線C上一點(diǎn)到直線l的最短距離；
（2）設(shè)M為l上任意一點(diǎn)，過M作兩條不平行于x軸的直線，若這兩條直線與拋物線C都只有一個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)公共點(diǎn)分別記為A，B，求△MAB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)所求點(diǎn)為（a，b），求出點(diǎn)到直線l的距離，利用配方法，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出過拋物線上點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線方程，代入x²=4y，消元，利用△=0，可得直線AB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，即可求出三角形的面積．

解答 解：（1）設(shè)拋物線上一點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a，b），則b²=4a，
則點(diǎn)N到直線l的距離d=$\frac{|a-b+4|}{\sqrt{2}}=\frac{|\frac{^{2}}{4}-b+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|（\frac{2}-1）^{2}+3|}{\sqrt{2}}$$≥\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=2時(shí)，等號(hào)成立，
故拋物線C上一點(diǎn)到直線l的最短距離為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
（2）設(shè)M（t，t+4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線MA，MB的方程分別為x-t=m₁（y-t-4），x-t=m₂（y-t-4），
∵M(jìn)A與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-t={m}_{1}（y-t-4）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$有且只有一組解，
即方程y²-4m₁y+4m₁t+16m₁-4t=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（-4m₁）²-4（4m₁t+16m₁-4t）=0，且y₁=2m₁，
即m₁²-（t+4）m₁+t=0，y₁=2m₁，因此A點(diǎn)坐標(biāo)為（m₁²，2m₁），
同理m₂²-（t+4）m₂+t=0，y₂=2m₂，因此B點(diǎn)坐標(biāo)為（m₂²，2m₂），
由m₁²-（t+4）m₁+t=0，m₂²-（t+4）m₂+t=0可知，
m₁，m₂，是方程m²-（t+4）m+t=0的兩根，
∴m₁+m₂=t+4，m₁m₂=t，
當(dāng)t=-4時(shí)，直線AB的斜率為k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2{m}_{2}-2{m}_{1}}{{{m}_{2}}^{2}-{{m}_{1}}^{2}}$=$\frac{2}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，
∴直線AB的方程為y-2m₁=$\frac{2}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，（x-m₁²），
化簡得2x-（m₁+m₂）y+2m₁m₂=0，
即2x-（t+4）y+2t=0，
當(dāng)t=-4時(shí)，直線AB的方程為x=4，也符合2x-（t+4）y+2t=0，
∴點(diǎn)M到直線AB的距離d=$\frac{|2t-（t+4）^{2}+2t|}{\sqrt{4+（t+4）^{2}}}$=$\frac{{t}^{2}+4t+16}{\sqrt{4+（t+4）^{2}}}$
|AB|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{（{{m}_{1}}^{2}-{{m}_{2}}^{2}）^{2}+（2{m}_{1}-2{m}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{[4+（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}]（{m}_{1}-{m}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{[4+（t+4）^{2}]（{t}^{2}+4t+16）}$，
因此△MAB的面積S_△MAB=$\frac{1}{2}$•$\frac{{t}^{2}+4t+16}{\sqrt{4+（t+4）^{2}}}$•$\sqrt{[4+（t+4）^{2}]（{t}^{2}+4t+16）}$=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{（{t}^{2}+4t+16）^{3}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{[（t+2）^{2}+12]^{3}}$，
故當(dāng)t=-2時(shí)，△MAB的面積有最小值$12\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的切線，考查直線恒過定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定切線方程，及直線AB的方程是關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．