Question

12．某商場(chǎng)為回饋大客戶，開(kāi)展摸球中獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：從一個(gè)裝有質(zhì)地和大小完全相同的4個(gè)白球和一個(gè)紅球的摸獎(jiǎng)箱中隨機(jī)摸出一球，若摸出紅球，則摸球結(jié)束，若摸出白球（不放回），則向摸獎(jiǎng)箱中放入一個(gè)紅球后繼續(xù)進(jìn)行下一輪摸球，直到摸出紅球結(jié)束，若大客戶在第n輪（n∈N^*）摸到紅球，則可獲得$10000•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$的獎(jiǎng)金（單位：元）
（Ⅰ）求某位大客戶在一次摸球中獎(jiǎng)活動(dòng)中至少獲得2500元獎(jiǎng)金的概率；
（Ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量ξ為某位大客戶所能獲得的獎(jiǎng)金，求隨機(jī)變量ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意得出：ξ=$10000•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，確定ξ₁=10000，ξ₂=5000，ξ₃=2500，ξ₄=1250，ξ₅=625，運(yùn)公式求解概率P（ξ₁=10000），P（ξ₂=5000），P（ξ₃=2500），
P（ξ₄=1250），P（ξ₅=625），運(yùn)用加法得出至少獲得2500元獎(jiǎng)金的概率；
（Ⅱ）根據(jù)概率分列 求解即可，準(zhǔn)確計(jì)算．

解答 解；客戶摸的次數(shù)為1，2，3，4，5
（Ⅰ）根據(jù)題意得出：ξ=$10000•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$
ξ₁=10000，ξ₂=5000，ξ₃=2500，ξ₄=1250，ξ₅=625
P（ξ₁=10000）=$\frac{1}{5}$；
P（ξ₂=5000）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{25}$；
P（ξ₃=2500）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{36}{125}$；
P（ξ₄=1250）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{96}{625}$；
P（ξ₅=625）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{5}$×1=$\frac{24}{625}$，
（Ⅱ）某位大客戶在一次摸球中獎(jiǎng)活動(dòng)中至少獲得2500元獎(jiǎng)金的概率為：$\frac{1}{5}$$+\frac{8}{25}$$+\frac{36}{125}$=$\frac{101}{125}$

ξ	10000	5000	2500	1250	625
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{24}{625}$

所以期望E（ξ）=10000×$\frac{1}{5}$$+5000×\frac{8}{25}$$+2500×\frac{36}{125}$+125×$\frac{96}{625}$$+625×\frac{24}{625}$=4536．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概率問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出隨機(jī)變量的值，運(yùn)用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算求解，屬于中檔題，計(jì)算數(shù)學(xué)期望要仔細(xì)認(rèn)真．