Question

12．已知函數(shù)f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{1}{f（x）}$，當x∈（0，1）時，求函數(shù)g（x）的值域；
（3）若f（1）=$\frac{5}{2}$，設(shè)h（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）的最小值為-7，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）的定義域為R．計算f（-x）與±f（x）的關(guān)系，即可判斷出．
（2）x∈（0，1）時，a^x＞0.0＜g（x）=$\frac{1}{f（x）}$=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{2x}+1}$=$\frac{1}{{a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}}$，即可得出函數(shù)g（x）的值域．
（3）f（1）=$\frac{5}{2}$=a+a^-1，解得a=2．h（x）=（2^x+2^-x-m）²-m²-2，對m分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R．
f（-x）=a^-x+a^x=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（2）x∈（0，1）時，a^x＞0.0＜g（x）=$\frac{1}{f（x）}$=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{2x}+1}$=$\frac{1}{{a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}}$＜$\frac{1}{2}$，∴函數(shù)g（x）的值域為$（0，\frac{1}{2}）$．
（3）f（1）=$\frac{5}{2}$=a+a^-1，解得a=2．
h（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x+2^-x）=（2^x+2^-x-m）²-m²-2，
當m≤2時，h（x）的最小值為h（0）=2-4m=-7，解得m=$\frac{9}{4}$，舍去；
當m＞2時，h（x）的最小值為-m²，∴-m²-2=-7，解得m=$\sqrt{5}$．
綜上可得：m=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論、推理能力與計算能力，屬于中檔題．