Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\sqrt{a_n^2-2{a_n}+2}+1（n∈{N^*}）$，則使不等式a₂₀₁₅＞2015成立的所有正整數(shù)a₁的集合為{a₁|a₁≥2015，且${a}_{1}∈{N}^{*}$}．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{$（{a}_{n}-1）^{2}$}是以$（{a}_{1}-1）^{2}$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，求出其通項公式后由a₂₀₁₅＞2015列式求出所有正整數(shù)a₁的集合．

解答 解：由a_n+1=$\sqrt{a_n^2-2{a_n}+2}+1（n∈{N^*}）$，得（a_n+1-1）²=a_n²-2a_n+2，
即$（{a}_{n+1}-1）^{2}=（{a}_{n}-1）^{2}+1$，
則數(shù)列{$（{a}_{n}-1）^{2}$}是以$（{a}_{1}-1）^{2}$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$（{a}_{n}-1）^{2}=（{a}_{1}-1）^{2}+n-1$，
則${a}_{n}-1=±\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+n-1}$，
即${a}_{n}=1±\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+n-1}$，
取${a}_{n}=1+\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+n-1}$，
由a₂₀₁₅＞2015，得1+$\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+2014}$＞2015，
即$（{a}_{1}-1）^{2}$＞2014×2013，
∵a₁是正整數(shù)，∴a₁≥2015．
故答案為：{a₁|a₁≥2015，且${a}_{1}∈{N}^{*}$}．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了不等式的解法，是中檔題．