【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程及離心率;
(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣a,0),點(diǎn) Q(0,y0)在線段AB的垂直平分線上,且 =4,求y0的值.
【答案】
(1)解:由題意得,橢圓C: =1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,
過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn).
∴a=2,b=1.
∴橢圓C的方程為 ;
又c= = ,
∴離心率e= =
(2)解:由(1)可知A(﹣2,0).
設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x+2).
于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 ,
由方程組消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2﹣4)=0.
由﹣2x1= ,得x1= .
從而y1= .
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,
則M的坐標(biāo)為(﹣ , ).
以下分兩種情況:
① 當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),線段AB的垂直平分線為y軸,于是 =(﹣2,﹣y0), =(2,﹣y0).
由 =4,得y0=±2 .
②當(dāng)k≠0時(shí),線段AB的垂直平分線方程為
y﹣ =﹣ (x+ ).
令x=0,解得y0=﹣ .
由 =(﹣2,﹣y0), =(x1,y1﹣y0).
=﹣2x1﹣y0(y1﹣y0)
= + ( + )
= =4,
整理得7k2=2,故k=± .所以y0=± .
綜上,y0=±2 或y0=±
【解析】(1)由題意可知:焦點(diǎn)在x軸上,過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn),則a=2,b=1.c= = ,離心率e= = ;即可求得橢圓C的方程及離心率;(2)設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求得中點(diǎn)M的坐標(biāo),分類,①當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),由 =4,得y0=±2 .②當(dāng)k≠0時(shí),線段AB的垂直平分線方程為y﹣ =﹣ (x+ ).向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示.即可求得求得y0的值.
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