【題目】已知函數(shù)(a<0).

(Ⅰ)當(dāng)a=-3時(shí),求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

【答案】(1) 單調(diào)遞減區(qū)間為(-3,-2)和(0,+∞);(2) a<0.

【解析】試題分析:(1)解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,得到所求的單調(diào)減區(qū)間;(2)函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)圖象與x軸有唯一的公共點(diǎn),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)圖象走勢(shì)即可.

試題解析:

(Ⅰ)∵a=-3,∴,故

令f′(x)<0,解得-3<x<-2或x>0,

即所求的單調(diào)遞減區(qū)間為(-3,-2)和(0,+∞)

(Ⅱ)∵(x>a)

令f′(x)=0,得x=0或x=a+1

(1)當(dāng)a+1>0,即-1<a<0時(shí),f(x)在(a,0)和(a+1,+∞)上為減函數(shù),在(0,a+1)上為增函數(shù).

由于f(0)=aln(-a)>0,當(dāng)x→a時(shí),f(x)→+∞.

當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→-∞,于是可得函數(shù)f(x)圖像的草圖如圖,

此時(shí)函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

即當(dāng)-1<a<0對(duì),f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);

(2)當(dāng)a=-1時(shí),,

,∴f(x)在(a,+∞)單調(diào)遞減,

又當(dāng)x→-1時(shí),f(x)→+∞.當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→-∞,

故函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);

(3)當(dāng)a+1<0即a<-1時(shí),f(x)在(a,a+1)和(0,+∞)上為減函數(shù),在(a+1,0)上為增函數(shù).又f(0)=aln(-a)<0,當(dāng)x→a時(shí),f(x)→+∞,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→-∞,于是可得函數(shù)f(x)圖像的草圖如圖,此時(shí)函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);

綜上所述,所求的范圍是a<0.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

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x

30

40

45

50

y

60

30

15

0

(1)在所給的坐標(biāo)系中,如圖,根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)的對(duì)應(yīng)點(diǎn),并確定yx的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式yf(x);

(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為P,根據(jù)上述關(guān)系寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出銷售單價(jià)x為多少時(shí)才能獲得最大日銷售利潤(rùn)?

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最大.

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