Question

6．已知a，b為實(shí)數(shù)，若|a|≤1，則代數(shù)式a²+b²+（a²+2-$\sqrt{1-^{2}}$）²-2ab的取值范圍是$[1，11-2\sqrt{10}]$．

Answer 1

分析 由$\sqrt{1-^{2}}$有意義，可設(shè)b=cosθ，θ∈[0，π]．代入可得a²+b²+（a²+2-$\sqrt{1-^{2}}$）²-2ab=a⁴+5a²+4-2$\sqrt{{a}^{4}+5{a}^{2}+4}$sin（θ+φ）+1，其中φ=arctan$\frac{a}{{a}^{2}+2}$．由于a⁴+5a²+4=$（{a}^{2}+\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$≥4，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由$\sqrt{1-^{2}}$有意義，可設(shè)b=cosθ，θ∈[0，π]．
∴a²+b²+（a²+2-$\sqrt{1-^{2}}$）²-2ab
=a²+cos²θ-2acosθ+（a²+2-sinθ）²
=a⁴+5a²+4-2$\sqrt{{a}^{4}+5{a}^{2}+4}$sin（θ+φ）+1，其中φ=arctan$\frac{a}{{a}^{2}+2}$．
a⁴+5a²+4=$（{a}^{2}+\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$≥4，
當(dāng)sin（θ+φ）=1時，上式≥$（\sqrt{{a}^{4}+5{a}^{2}+4}-1）^{2}$≥1．
當(dāng)sin（θ+φ）=-1時，上式≤$（\sqrt{{a}^{4}+5{a}^{2}+4}-1）^{2}$≤11-2$\sqrt{10}$．
綜上可得：代數(shù)式a²+b²+（a²+2-$\sqrt{1-^{2}}$）²-2ab的取值范圍是$[1，11-2\sqrt{10}]$．
故答案為：$[1，11-2\sqrt{10}]$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)代換方法、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．