Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+2x²-x（x∈R）．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出f（2），f′（2）的值，從而求出切線方程；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=-x³+2x²-x，
所以 f′（x）=-3x²+4x-1，且f（2）=-2，
所以 f′（2）=-5，
所以 曲線f（x）在點(diǎn)（2，-2）處的切線方程是y+2=-5（x-2），
整理得：5x+y-8=0．
（2）由（1）知f′（x）=-3x²+4x-1=-（3x-1）（x-1），
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{3}$或x=1，
所以f′（x），f（x）變化情況如下表：

x	（-∞，-$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	-$\frac{4}{27}$	↗	0	↘

因此，函數(shù)f（x）的極大值為0，極小值為-$\frac{4}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．