Question

12．某科技公司組織技術(shù)人員進(jìn)行新項(xiàng)目研發(fā)，技術(shù)人員將獨(dú)立地進(jìn)行項(xiàng)目中不同類(lèi)型的實(shí)驗(yàn)A，B，C，若A，B，C實(shí)驗(yàn)成功的概率分別為 $\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$．
（1）對(duì)A，B，C實(shí)驗(yàn)各進(jìn)行一次，求至少有一次實(shí)驗(yàn)成功的概率；
（2該項(xiàng)目要求實(shí)驗(yàn)A，B各做兩次，實(shí)驗(yàn)C做3次，如果A實(shí)驗(yàn)兩次都成功則進(jìn)行實(shí)驗(yàn)B并獲獎(jiǎng)勵(lì)10000元，兩次B實(shí)驗(yàn)都成功則進(jìn)行實(shí)驗(yàn)C并獲獎(jiǎng)勵(lì)30000元，3次C實(shí)驗(yàn)只要有兩次成功，則項(xiàng)目研發(fā)成功并獲獎(jiǎng)勵(lì)60000元（不重復(fù)得獎(jiǎng)），且每次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，用X表示技術(shù)人員所獲獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)值，寫(xiě)出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由相互獨(dú)立事件的概率及對(duì)立事件的概率計(jì)算公式求得答案；
（2）分別求出X的取值為0，10000，30000，60000的概率，列出頻率分布表，代入期望公式得答案．

解答 解：（1）設(shè)A，B，C實(shí)驗(yàn)成功分別記為事件A，B，C，且相互獨(dú)立，
A，B，C至少有一次實(shí)驗(yàn)成功為事件D，
則P（D）=1-P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=1-P（$\overline{A}$）（$\overline{B}$）（$\overline{C}$）=1-$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{59}{60}$；
（2）X的取值為0，10000，30000，60000，
則P（X=0）=$\frac{1}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{5}=\frac{9}{25}$，
P（X=10000）=$（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}）=\frac{7}{25}$，
P（X=30000）=$（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}[1-（\frac{2}{3}）^{2}-{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}]=\frac{7}{75}$
P（X=60000）=$（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}[（\frac{2}{3}）^{2}+{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}]=\frac{4}{15}$．
∴X的分布列為

X	0	10000	30000	60000
P	$\frac{9}{25}$	$\frac{7}{25}$	$\frac{7}{75}$	$\frac{4}{15}$

∴X的數(shù)學(xué)期望E（X）=$0×\frac{9}{25}+10000×\frac{7}{25}+30000×\frac{7}{75}+60000×\frac{4}{15}$=2160（元）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的期望表征了隨機(jī)變量取值的平均值，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．