Question

2．A，B，C是球面上的三點(diǎn)，且AB=1，BC=2，∠ABC=120°，且球心到平面ABC的距離為3，則球的表面積為$\frac{220}{3}$π．

Answer 1

分析 求出△ABC的外接圓的半徑，利用球心到平面ABC的距離為3，可求出球的半徑，然后求球的表面積．

解答 解：由題意AB=1，BC=2，∠ABC=120°，
可知AC=$\sqrt{1+4-2×1×2×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$，
設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，則2r=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∵球心到平面ABC的距離為3，
正好是球心到BC的中點(diǎn)的距離，
∴球的半徑是：R=$\sqrt{9+\frac{28}{3}}$=$\sqrt{\frac{55}{3}}$，
球的表面積是：4πR²=$\frac{220}{3}$π．
故答案為：$\frac{220}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的內(nèi)接體問(wèn)題，考查學(xué)生空間想象能力，是中檔題．確定三角形ABC的形狀以及利用球半徑與球心O到平面ABC的距離的關(guān)系，是解好本題的前提．