Question

2．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n滿足S_n=（$\frac{{{a_n}+1}}{2}$）²（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設(shè)T_n為數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n項和，若T_n≤λa_n+1對?n∈N^*恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=1時，求得a₁，S_n=（$\frac{{{a_n}+1}}{2}$）²（n∈N^*）．化簡求得a_n-a_n-1=2，數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，求得通項公式；
（Ⅱ）$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，求出前n項和，比較λa_n+1，判斷其單調(diào)性，求出λ的最小值．

解答 （I）當(dāng)n=1時，${a_1}={S_1}=\frac{{{{（{{a_1}+1}）}^2}}}{4}$，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{{{{（{{a_n}+1}）}^2}}}{4}-\frac{{{{（{{a_{n-1}}+1}）}^2}}}{4}$，
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0∵a_n＞0，
∴a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=2，
數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1
（II）$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴${T_n}=\frac{n}{2n+1}$；
由題意得$λ≥\frac{n}{{{{（{2n+1}）}^2}}}$對?n∈N^*恒成立，
令${b_n}=\frac{n}{{{{（{2n+1}）}^2}}}$，則${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{{-{{（{2n+1}）}^2}+2}}{{{{（{2n+3}）}^2}{{（{2n+1}）}^2}}}＜0$，
即b_n+1＜b_n對?n∈N^*恒成立，
即數(shù)列{b_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，最大值為${b_1}=\frac{1}{9}$，
∴$λ≥\frac{1}{9}$，即λ的最小值為$\frac{1}{9}$．

點評 本題主要考查了數(shù)量的遞推關(guān)系，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位．高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏，屬于中檔題．