8.已知函數(shù)f(x)=2sin2x+sin2x-1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)$f({\frac{x_0}{2}})=cos({\frac{π}{6}+α})cos({\frac{π}{6}-α})+{sin^2}α$,其中0<x0<π,求tanx0的值.

分析 (1)利用三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡,即可求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)化簡條件,利用同角的三角函數(shù)的關(guān)系式建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)f(x)=2sin2x+sin2x-1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin(2x-$\frac{π}{4}$).
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
得2kπ≤x≤2kπ,k∈Z,
得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$,k∈Z,
即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{8}$,kπ+$\frac{3π}{8}$],k∈Z;
(2)cos($\frac{π}{6}$+α)cos($\frac{π}{6}$-α)+sin2α=(cos$\frac{π}{6}$cosα)2-(sin$\frac{π}{6}$sinα)2+sin2α=$\frac{3}{4}$cos2α-$\frac{1}{4}$sin2α+sin2α=$\frac{3}{4}$,
即f($\frac{{x}_{0}}{2}$)=$\sqrt{2}$sin(2×$\frac{{x}_{0}}{2}$-$\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$sin(x0-$\frac{π}{4}$)=$\frac{3}{4}$,
即sinx0-cosx0=$\frac{3}{4}$,①
平方得2sinx0cosx0=$\frac{7}{16}$,
∵0<x0<π,
∴cosx0>0,
則sinx0+cosx0=$\sqrt{1+2sin{x}_{0}cos{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{23}}{4}$②,
由①②得sinx0=$\frac{3+\sqrt{23}}{8}$,cosx0=$\frac{\sqrt{23}-3}{8}$,
則tanx0=$\frac{\sqrt{23}+3}{\sqrt{23}-3}$=$\frac{16+3\sqrt{23}}{7}$.

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用輔助角公式進(jìn)行化簡以及利用三角函數(shù)的同角的基本關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵.

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