Question

8．已知函數(shù)f（x）=2sin²x+sin2x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)$f（{\frac{x_0}{2}}）=cos（{\frac{π}{6}+α}）cos（{\frac{π}{6}-α}）+{sin^2}α$，其中0＜x₀＜π，求tanx₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）化簡條件，利用同角的三角函數(shù)的關(guān)系式建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=2sin²x+sin2x-1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2kπ≤x≤2kπ，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z；
（2）cos（$\frac{π}{6}$+α）cos（$\frac{π}{6}$-α）+sin²α=（cos$\frac{π}{6}$cosα）²-（sin$\frac{π}{6}$sinα）²+sin²α=$\frac{3}{4}$cos²α-$\frac{1}{4}$sin²α+sin²α=$\frac{3}{4}$，
即f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{{x}_{0}}{2}$-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（x₀-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
即sinx₀-cosx₀=$\frac{3}{4}$，①
平方得2sinx₀cosx₀=$\frac{7}{16}$，
∵0＜x₀＜π，
∴cosx₀＞0，
則sinx₀+cosx₀=$\sqrt{1+2sin{x}_{0}cos{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{23}}{4}$②，
由①②得sinx₀=$\frac{3+\sqrt{23}}{8}$，cosx₀=$\frac{\sqrt{23}-3}{8}$，
則tanx₀=$\frac{\sqrt{23}+3}{\sqrt{23}-3}$=$\frac{16+3\sqrt{23}}{7}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式進(jìn)行化簡以及利用三角函數(shù)的同角的基本關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．