Question

19．已知函數(shù)f（x）=a^x-a•x，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當a=e時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）設a≥e且n∈N^*，比較$\frac{n（n+1）}{2}$與$\frac{ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）}{lna}$的大小，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由題意得，對f（x）進行求導，由導函數(shù)的正負來確定f（x）的單調區(qū)間．
（2）將所要證明的問題轉化為一種簡單形式，由倒敘法，將只需證明的結論找到．再由第一歸納法證明即可．

解答 解：（1）a=e時，f（x）=e^x-ex
f′（x）=e^x-e，
令f′（x）=0，得x=1
x＜1時，f′（x）＜0
x＞1時，f′（x）＞0
則f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，1）
遞減區(qū)間是（1，+∞）
（2）$\frac{n（n+1）}{2}$＞$\frac{ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）}{lna}$
∵a≥e
欲證$\frac{n（n+1）}{2}$＞$\frac{ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）}{lna}$成立
只需證${a}^{\frac{n（n+1）}{2}}$＞（a-1）（2a-1）（3a-1）…（na-1）（n∈N⁺），
只需證a•a²•a³…aⁿ＞（a-1）（2a-1）（3a-1）…（na-1），
即證aⁿ＞na-1 （n∈N⁺）
用數(shù)學歸納法證明如下：
①當n=1時，a＞a-1成立，
②當n=k時，假設a^k＞ka-1成立，
那么當n=k+1時，a^k+1=a^k•a＞（ka+1）•a，
下面只需證明（ka-1）•a＞（k+1）a-1，
只需證明k（a²-a）＞2a-1，
∵a≥e，∴a²-a＞0，∴只需證明k＞$\frac{2a-1}{{a}^{2}-a}$，
∴只需證明1＞$\frac{2a-1}{{a}^{2}-a}$，只需證明a（a-3）＞-1，
只需證明a²-3a+1＞0對a≥e恒成立即可．
構造函數(shù)h（a）=a²-3a+1（a≥e），
∵h（a）=（a-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$在[e，+∞）單調遞增，
∴h（a）≥h（e）=（e-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$＞0
∴當n=k+1時，a^k+1＞（k+1）a-1成立，
由①和②可知，對一切n∈N⁺，aⁿ＞na-1成立．
∴當a≥e時，$\frac{n（n+1）}{2}$＞$\frac{ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）}{lna}$成立．

點評 本題主要考察函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系和第一歸納法的證明過程．尤其是第二問較為復雜，證明時需要思路清晰．