Question

14．如圖在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，AD=$\sqrt{3}$，BC=CD=2$\sqrt{3}$，點E是AB邊上一點，現(xiàn)將△ADE沿邊DE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，且CD⊥AD．
（1）求證：AE⊥CD；
（2）求直線AB與平面ADE所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）過A作AO⊥DE于點O，推導(dǎo)出AO⊥CD，CD⊥AD，由此能證明CD⊥AE．
（2）過B作BH⊥DE，交DE延長線于點H，連結(jié)AH，則∠BAH即為直線AB與平面ADE所成的角，由此能求出直線AB與平面ADE所成角．

解答 證明：（1）過A作AO⊥DE于點O，
∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，
∴AO⊥平面BCDE，∴AO⊥CD，
∵CD⊥AD，AD∩AO=A，∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥AE．
解：（2）過B作BH⊥DE，交DE延長線于點H，連結(jié)AH，
∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，
∴BH⊥平面ADE，
∴∠BAH即為直線AB與平面ADE所成的角，
由（1）知CD⊥DE，
設(shè)AE=a，則BE=3-a，DE=$\sqrt{3+{a}^{2}}$，CE=$\sqrt{（3-{a}^{2}）+12}$，
∵DE²+CD²=CE²，∴a=1，即AE=1，DE=2，BE=2，
∴△ADE≌△HBE，∴HB=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AHB中，∠BAH=45°，
即直線AB與平面ADE所成角為45°．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．