Question

4．設(shè)空間向量$\overrightarrow{a}$=（3，5，-4），$\overrightarrow$=（2，1，8）．
（1）計算2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$，3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的值，并求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$所成角的余弦值；
（2）當(dāng)λ、μ，滿足什么條件時，使得$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow$與z軸垂直．

Answer 1

分析 （1）利用空間向量坐標(biāo)運算法則能求出2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$，3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的值，并能求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$所成角的余弦值．
（2）z軸的方向向量為（0，0，1），λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），由向量垂直的性質(zhì)，能求出λ=2μ時，λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$與z軸垂直．

解答 解：（1）∵空間向量$\overrightarrow{a}$=（3，5，-4），$\overrightarrow$=（2，1，8），
∴2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16），
3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28），
$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=6+5-32=-21，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$所成角的余弦值為：cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{-21}{\sqrt{9+25+16}•\sqrt{4+1+64}}$=-$\frac{7\sqrt{138}}{230}$．
（2）z軸的方向向量為（0，0，1），
λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），
∵λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$與z軸垂直，則0•（3λ+2μ）+0•（5λ+μ）+（-4λ+8μ）=0，即8μ-4λ=0，∴λ=2μ．
∴λ=2μ時，λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$與z軸垂直．

點評 本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，考查向量所成角的余弦值的求法，考查向量垂直的條件的判斷與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量坐標(biāo)運算法則的合理運用．