Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間[-1，1]上的最大值．
（1）證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M（a，b）≥2；
（2）當(dāng)a，b滿足M（a，b）≤2時(shí)，求|a|+|b|的最大值．

Answer 1

分析 （1）明確二次函數(shù)的對(duì)稱軸，區(qū)間的端點(diǎn)值，由a的范圍明確函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知以及三角不等式變形所求得到證明；
（2）討論a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到-3≤a+b≤1且-3≤b-a≤1，進(jìn)一步求出|a|+|b|的求值．

解答 解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（-1）=1-a+b，對(duì)稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，
因?yàn)閨a|≥2，所以$-\frac{a}{2}≤-1$或$-\frac{a}{2}$≥1，
所以函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)，
所以M（a，b）=max{|f（1），|f（-1）|}=max{|1+a+b|，|1-a+b|}，
所以M（a，b）≥$\frac{1}{2}$（|1+a+b|+|1-a+b|）≥$\frac{1}{2}$|（1+a+b）-（1-a+b）|≥$\frac{1}{2}$|2a|=|a|≥2；
（2）當(dāng)a=b=0時(shí)，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0為最小值，符合題意；
又對(duì)任意x∈[-1，1]．有-2≤x²+ax+b≤2，
得到-3≤a+b≤1且-3≤b-a≤1，-2≤$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$≤2，
易知（|a|+|b|）_max=max{|a-b|，|a+b|}=3，在b=-1，a=2時(shí)符合題意，
所以|a|+|b|的最大值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求法；解答本題的關(guān)鍵是正確理解M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間[-1，1]上的最大值，以及利用絕對(duì)值不等式變形．