Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a_n+2=a_n+3，且a₁=1，a₂=2，若b_n=$\frac{9}{{（a}_{2n-1}+2）{（a}_{2n}+4）}$，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{a_n}中，奇數(shù)項(xiàng)為以1為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)為以2為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列．即有a_2n-1=1+3（n-1）=3n-2，a_2n=2+3（n-1）=3n-1．化簡(jiǎn)b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：a_n+2=a_n+3，且a₁=1，a₂=2，
可得a_n+2-a_n=3，
即有數(shù)列{a_n}中，奇數(shù)項(xiàng)為以1為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列；
偶數(shù)項(xiàng)為以2為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列．
即有a_2n-1=1+3（n-1）=3n-2，
a_2n=2+3（n-1）=3n-1．
則b_n=$\frac{9}{{（a}_{2n-1}+2）{（a}_{2n}+4）}$=$\frac{9}{3n•3（n+1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有前n項(xiàng)和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．