18.已知△ABC的三個頂點坐標為A(0,0),B(8,4),C(-2,4).
(1)求證:△ABC是直角三角形;
(2)若△ABC的外接圓截直線4x+3y+m=0所得弦的弦長為6,求m的值.

分析 (1)證明$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-16+16=0,可得$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$,即可證明△ABC是直角三角形;
(2)求出△ABC的外接圓的方程,利用△ABC的外接圓截直線4x+3y+m=0所得弦的弦長為6,可得圓心到直線的距離d=4,即可求m的值.

解答 (1)證明:∵A(0,0),B(8,4),C(-2,4),
∴$\overrightarrow{AB}$=(8,4),$\overrightarrow{AC}$=(-2,4),
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-16+16=0,
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$,
∴ABC是直角三角形;
(2)解:△ABC的外接圓是以BC為直徑的圓,方程為(x-3)2+(y-4)2=25,
∵△ABC的外接圓截直線4x+3y+m=0所得弦的弦長為6,
∴圓心到直線的距離d=4=$\frac{|12+12+m|}{\sqrt{16+9}}$,
∴m=-4或-44.

點評 本題考查直角三角形的判斷,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查學生的計算能力,屬于中檔題.

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