Question

4．在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，若P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且AP=2，則$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$的最大值為（　�。�

• A． 10
• B． 12
• C． 10+2$\sqrt{37}$
• D． 8

Answer 1

分析 可以A為坐標原點，邊AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，然后根據(jù)條件即可求出A，B，C三點的坐標，并可設(shè)P（cosθ，sinθ），θ∈R．這樣便可求出向量$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{PC}$的坐標，從而求出$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=-11cosθ-3\sqrt{3}sinθ+10$，根據(jù)兩角和的正弦公式即可得到$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=-2\sqrt{37}sin（θ+α）+10$，而-1≤sin（θ+α）≤1，從而便可得出$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值．

解答 解：以點A為原點，邊AC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則：
A（0，0），B（$\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$），C（4，0），P（2cosθ，2sinθ），θ∈R；
∴$\overrightarrow{PB}=（\frac{3}{2}-2cosθ，\frac{3\sqrt{3}}{2}-2sinθ）$，$\overrightarrow{PC}=（4-2cosθ，-2sinθ）$；
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=（\frac{3}{2}-2cosθ）（4-2cosθ）-$$2sinθ（\frac{3\sqrt{3}}{2}-2sinθ）$
=$-11cosθ-3\sqrt{3}sinθ+10$
=$-2\sqrt{37}sin（θ+α）+10$，其中α為銳角，且$tanα=\frac{11\sqrt{3}}{9}$，θ∈R；
∴sin（θ+α）=-1時，$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$取最大值$10+2\sqrt{37}$．
故選C．

點評 考查通過建立平面直角坐標系，利用坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，而設(shè)P（cosθ，sinθ）非常關(guān)鍵，根據(jù)點的坐標求向量的坐標，以及向量數(shù)量積的坐標運算，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的最值．