Question

11．平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的右頂點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）經(jīng)過(guò)已知雙曲線的左焦點(diǎn)作拋物線C的切線，求切線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出拋物線C的方程，利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解拋物線方程．
（2）求出雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，聯(lián)立方程組求解切線方程．

解答 解：（1）依題意，設(shè)拋物線C的方程為y²=2px…（1分）
拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的右頂點(diǎn)
$\frac{p}{2}=1$…（2分），
所以p=2，拋物線C的方程為y²=4x…（3分）
（2）雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的左焦點(diǎn)為F（-2，0）…（4分）
顯然x=-2不是拋物線C的切線，設(shè)所求切線為y=k（x+2）…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x+2）\end{array}\right.$及k≠0得，${y^2}=4（\frac{y}{k}-2）$…（6分）
${y^2}-\frac{4}{k}y+8=0$，依題意${（\frac{4}{k}）^2}-4×8=0$…（8分），
解得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（9分）
切線方程為$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+2）$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．