Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，△PAB是正三角形，AD=AB=2，BC=1，E是線段AB的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)直線PC與平面PDE所成角為θ，求cosθ

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AD⊥PE，PE⊥AB，由此能證明平面PED⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以E為原點(diǎn)，在平面ABCD中過E作EB的垂直線x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空是直角坐標(biāo)系，利用向量法能能求出cosθ．

解答 證明：（Ⅰ）∵AD⊥平面PAB，PE?平面PAB，
∴AD⊥PE，
又∵△PAB是正三角形，E是線段AB的中點(diǎn)，∴PE⊥AB，
∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD，
∵PE?平面PED，∴平面PED⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以E為原點(diǎn)，在平面ABCD中過E作EB的垂直線x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空是直角坐標(biāo)系，
則E（0，0，0），C（1，1，0），D（2，-1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{ED}$=（2，-1，0），$\overrightarrow{EP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（-1，-1，-$\sqrt{3}$），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面PDE的一個(gè)法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=2x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，0），
設(shè)PC與平面PDE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos$θ=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．